Secara umum Himpunan yaitu kelompok, kumpulan benda atau objek yang memiliki definisi maupun ukuran pasti sehingga anggotanya dapat disebut dengan jelas.
Teori himpunan adalah cabang logika matematika yang mempelajari himpunan, yang secara informal dapat digambarkan sebagai kumpulan objek. Meskipun objek dalam bentuk apa pun dapat dikumpulkan menjadi satu himpunan,
Jadi apa itu himpunan dijabarkan secara sederhana?
- Secara singkat Himpunan adalah Kumpulan
Bagaimana Implementasi himpunan dalam kehidupan sehari-hari?
- Contoh paling umum adalah himpunan "Pakaian"
- Misalnya, item yang di kenakan: topi, kemeja, jaket, celana, dan sebagainya.
Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan dari elemen-elemen. Elemen-elemen yang membentuk suatu himpunan dapat berupa segala jenis objek matematika: angka, simbol, titik dalam ruang, garis, bentuk geometris lainnya, variabel, atau bahkan himpunan lainnya. Himpunan dengan tidak ada elemen yang merupakan himpunan kosong; himpunan dengan elemen tunggal adalah singleton. Suatu himpunan dapat memiliki jumlah elemen berhingga atau merupakan himpunan tak berhingga. Dua himpunan adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki elemen-elemen yang persis sama.
Himpunan, dalam matematika, adalah kumpulan objek yang terorganisir dan dapat direpresentasikan dalam bentuk pembuat himpunan atau bentuk daftar. Biasanya, himpunan direpresentasikan dalam kurung kurawal {}, misalnya, A = {1,2,3,4} adalah himpunan. Juga, periksa simbol yang ditetapkan di sini.
Dalam teori himpunan, Anda akan belajar tentang himpunan dan sifat-sifatnya. Ini dikembangkan untuk menggambarkan koleksi objek. Anda telah mempelajari tentang klasifikasi himpunan di sini. Teori himpunan mendefinisikan berbagai jenis himpunan, simbol dan operasi yang dilakukan.
Himpunan ada di mana-mana dalam matematika modern. Memang, teori himpunan, lebih khusus teori himpunan Zermelo-Fraenkel, telah menjadi cara standar untuk memberikan dasar yang kuat untuk semua cabang matematika sejak paruh pertama abad ke-20.
Konsep himpunan muncul dalam matematika pada akhir abad ke-19. Kata Jerman untuk set, Menge, diciptakan oleh Bernard Bolzano dalam karyanya Paradoxes of the Infinite.
Himpunan adalah kumpulan bersama menjadi satu kesatuan objek yang pasti dan berbeda dari persepsi atau pemikiran kita—yang disebut elemen himpunan.
Bertrand Russell menyebut himpunan sebagai kelas: "Ketika ahli matematika berurusan dengan apa yang mereka sebut manifold, agregat, Menge, ensemble, atau beberapa nama yang setara, adalah umum, terutama di mana jumlah istilah yang terlibat terbatas, untuk menganggap objek yang dimaksud. (yang sebenarnya merupakan kelas) sebagaimana didefinisikan oleh enumerasi istilah-istilahnya, dan mungkin terdiri dari satu istilah, yang dalam hal ini adalah kelasnya".
Apa saja Unsur-unsur Himpunan?
Mari kita ambil contoh:
- A = {1, 2, 3, 4, 5 }
Karena himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital. Jadi, A adalah himpunan dan 1, 2, 3, 4, 5 adalah anggota himpunan atau anggota himpunan. Unsur-unsur yang ditulis dalam himpunan dapat dalam urutan apa pun tetapi tidak dapat diulang. Semua elemen yang ditetapkan diwakili dalam huruf kecil dalam hal abjad. Juga, kita dapat menulisnya sebagai 1 A, 2 A dst. Bilangan pokok himpunan adalah 5. Beberapa himpunan yang umum digunakan adalah sebagai berikut:
- N: Himpunan semua bilangan asli
- Z: Himpunan semua bilangan bulat
- Q: Himpunan semua bilangan rasional
- R: Himpunan semua bilangan real
- Z+: Himpunan semua bilangan bulat positif
Urutan Himpunan
Urutan suatu himpunan menentukan jumlah elemen yang dimiliki suatu himpunan. Ini menggambarkan ukuran satu set. Urutan himpunan disebut juga dengan kardinalitas.
Ukuran himpunan apakah itu himpunan berhingga atau himpunan tak berhingga, masing-masing dikatakan himpunan beraturan berhingga atau berorde tak hingga.
Representasi Himpunan
himpunan diwakilkan dalam kurung kurawal, {}. Misalnya, {2,3,4} atau {a,b,c} atau {kursi, meja, papan tulis}. Elemen-elemen dalam himpunan digambarkan baik dalam bentuk Pernyataan, Bentuk Daftar Nama atau Bentuk Pembuat Himpunan.
Pernyataan Himpunan
Dalam bentuk pernyataan, deskripsi anggota himpunan yang terdefinisi dengan baik ditulis dan diapit oleh tanda kurung kurawal.
Misalnya himpunan bilangan genap kurang dari 15.
Dalam bentuk pernyataan, dapat ditulis sebagai {angka genap kurang dari 15}.
Daftar Himpunan
Misalnya himpunan bilangan asli kurang dari 5.
Bilangan Asli = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,……….
Bilangan Asli kurang dari 5 = 1, 2, 3, 4
Oleh karena itu, himpunannya adalah N = { 1, 2, 3, 4 }
Contoh: Tulis himpunan berikut dalam bentuk pembangun himpunan: A={2, 4, 6, 8}
Solusi:
2 = 2 x 1
4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
8 = 2 x 4
Jadi, bentuk pembangun himpunannya adalah A = {x: x=2n, n N dan 1 n ≤ 4}
Juga, Diagram Venn adalah cara sederhana dan terbaik untuk representasi himpunan yang divisualisasikan.
Jenis Himpunan
Kami memiliki beberapa jenis himpunan dalam Matematika. Mereka adalah himpunan kosong, himpunan berhingga dan tak hingga, himpunan wajar, himpunan sama, dll. Mari kita bahas klasifikasi himpunan di sini.
Himpunan kosong
Himpunan yang tidak mengandung unsur apapun disebut himpunan kosong atau himpunan batal atau himpunan nol. Dilambangkan dengan {} atau .
Satu Himpunan apel dalam keranjang anggur adalah contoh dari satu set kosong karena dalam keranjang anggur tidak ada apel.
Himpunan Tunggal
Himpunan yang berisi satu elemen disebut himpunan tunggal.
Contoh: Hanya ada satu apel dalam sekeranjang anggur.
Himpunan terbatas
Himpunan yang terdiri dari sejumlah elemen tertentu disebut himpunan berhingga.
Contoh: Himpunan bilangan asli hingga 10.
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Himpunan tak terbatas
Himpunan yang tidak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
Contoh: Himpunan semua bilangan asli.
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9……}
Himpunan yang setara
Jika jumlah anggotanya sama untuk dua himpunan yang berbeda, maka disebut himpunan ekuivalen. Urutan set tidak masalah di sini. Ini direpresentasikan sebagai:
n(A) = n(B)
dimana A dan B adalah dua himpunan yang berbeda dengan jumlah anggota yang sama.
Contoh: Jika A = {1,2,3,4} dan B = {Merah, Biru, Hijau, Hitam}
Di himpunan A ada empat elemen dan di himpunan B juga ada empat elemen. Oleh karena itu, himpunan A dan himpunan B ekuivalen.
Himpunan yang sama
Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika memiliki unsur-unsur yang sama persis, orde unsur tidak menjadi masalah.
Contoh: A = {1,2,3,4} dan B = {4,3,2,1}
A = B
Himpunan Terpisah
Dua himpunan A dan B dikatakan lepas jika himpunan tersebut tidak mengandung elemen yang sama.
Contoh: Himpunan A = {1,2,3,4} dan himpunan B = {5,6,7,8} adalah himpunan lepas, karena tidak ada unsur persekutuan di antara keduanya.
Himpunan bagian
Suatu himpunan 'A' dikatakan himpunan bagian dari B jika setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B, dinotasikan sebagai A B. Bahkan himpunan nol dianggap sebagai himpunan bagian dari himpunan lain. Secara umum, subset adalah bagian dari set lain.
Contoh: A = {1,2,3}
Maka {1,2} A.
Demikian pula, himpunan bagian lain dari himpunan A adalah: {1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3},{}.
Catatan: Himpunan juga merupakan bagian dari dirinya sendiri.
Jika A bukan himpunan bagian dari B, maka dinotasikan sebagai A⊄B.
Bagian yang tepat
Jika A B dan A B, maka A disebut himpunan bagian sejati dari B dan dapat ditulis sebagai A⊂B.
Contoh: Jika A = {2,5,7} adalah himpunan bagian dari B = {2,5,7} maka itu bukan himpunan bagian sejati dari B = {2,5,7}
Tetapi, A = {2,5} adalah himpunan bagian dari B = {2,5,7} dan juga merupakan himpunan bagian wajar.
Super Himpunan
Himpunan A dikatakan superset dari B jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A. Direpresentasikan sebagai A B.
Misalnya, jika himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {1, 3, 4}, maka himpunan A adalah superset dari B.
Himpunan Universal
Himpunan yang memuat semua himpunan yang relevan dengan kondisi tertentu disebut himpunan semesta. Ini adalah himpunan semua nilai yang mungkin.
Contoh: Jika A = {1,2,3} dan B {2,3,4,5}, maka himpunan semesta adalah:
U = {1,2,3,4,5}
Operasi pada Himpunan
Dalam teori himpunan, operasi himpunan dilakukan ketika dua atau lebih himpunan bergabung untuk membentuk himpunan tunggal di bawah beberapa kondisi yang diberikan. Operasi dasar pada himpunan adalah:
Himpunan Tunggal
Himpunan yang hanya memiliki satu unsur disebut himpunan tunggal atau disebut juga himpunan satuan. Contoh, Himpunan A = { k | k adalah bilangan bulat antara 3 dan 5} yaitu A = {4}.
Himpunan Terbatas
Sesuai dengan namanya, himpunan dengan jumlah elemen berhingga atau dapat dihitung disebut himpunan berhingga. Contoh, Himpunan B = {k | k adalah bilangan prima kurang dari 20}, yaitu B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
Himpunan Tak Terbatas
Himpunan dengan jumlah elemen tak hingga disebut himpunan tak hingga. Contoh: Himpunan C = {Kelipatan 3}.
Himpunan Kosong atau Null
Himpunan yang tidak mengandung unsur apapun disebut himpunan kosong atau himpunan nol. Himpunan kosong dilambangkan dengan simbol '∅'. Itu dibaca sebagai 'phi'. Contoh: Setel X = {}.
Himpunan yang Sama
Jika dua himpunan memiliki elemen yang sama di dalamnya, maka mereka disebut himpunan yang sama. Contoh: A = {1,2,3} dan B = {1,2,3}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang sama. Ini dapat direpresentasikan sebagai A = B.
Himpunan yang Tidak Sama
Jika dua himpunan memiliki paling sedikit satu elemen yang berbeda, maka keduanya merupakan himpunan yang tidak sama. Contoh: A = {1,2,3} dan B = {2,3,4}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang tidak sama. Ini dapat direpresentasikan sebagai A B.
Himpunan Setara
Dua himpunan dikatakan himpunan ekuivalen jika memiliki jumlah elemen yang sama, meskipun elemennya berbeda. Contoh: A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan ekuivalen karena n(A) = n(B)
Himpunan Tumpang Tindih
Dua himpunan dikatakan tumpang tindih jika setidaknya satu elemen dari himpunan A ada di himpunan B. Contoh: A = {2,4,6} B = {4,8,10}. Di sini, elemen 4 hadir di himpunan A serta di himpunan B. Oleh karena itu, A dan B adalah himpunan yang tumpang tindih.
Himpunan Terpisah
Dua himpunan adalah himpunan lepas jika tidak ada elemen yang sama di kedua himpunan. Contoh: A = {1,2,3,4} B = {5,6,7,8}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan lepas.
Sub Himpunan dan Himpunan penuh
Untuk dua himpunan A dan B, jika setiap anggota himpunan A terdapat pada himpunan B, maka himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B(A B) dan B adalah superset dari himpunan A(B A).
Contoh: A = {1,2,3} B = {1,2,3,4,5,6}
A B, karena semua anggota himpunan A ada di himpunan B.
B A menyatakan bahwa himpunan B adalah superset dari himpunan A.
Himpunan Universal
Himpunan universal adalah kumpulan semua elemen dalam kaitannya dengan subjek tertentu. Himpunan universal dilambangkan dengan huruf 'U'. Contoh: Misalkan U = {Daftar semua kendaraan angkutan jalan}. Di sini, satu set mobil adalah subset untuk set universal ini, set siklus, kereta api adalah semua subset dari set universal ini.
Himpunan Daya
Himpunan daya adalah himpunan dari semua himpunan bagian yang dapat dikandung oleh suatu himpunan. Contoh: Himpunan A = {1,2,3}. Himpunan pangkat dari A adalah = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.
Rumus-rumus Himpunan
Himpunan menemukan aplikasinya di bidang aljabar, statistik, dan probabilitas. Ada beberapa rumus set penting seperti yang tercantum di bawah ini.
Untuk setiap dua himpunan yang tumpang tindih A dan B,
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n (A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A U B)
n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) - n(B)
n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) - n(A)
n(A - B) = n(A U B) - n(B)
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)
Untuk setiap dua himpunan A dan B yang saling lepas,
n(A U B) = n(A) + n(B)
A ∩ B = ∅
n(A - B)= n(A)
Sifat-sifat Himpunan
Serupa dengan bilangan, himpunan juga memiliki sifat-sifat seperti sifat asosiatif, sifat komutatif, dan sebagainya. Ada enam sifat penting dari himpunan. Diketahui, tiga himpunan A, B, dan C, sifat-sifat himpunan ini adalah sebagai berikut.
Contoh Sifat-sifat Himpunan
Sifat komutatif A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
Sifat Asosiatif (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A U B) U C = A U (B U C)
Sifat Distributif A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Properti Identitas A U ∅ = A
A ∩ U = A
Sifat Pelengkap A U A' = U
Sifat Idempoten A ∩ A = A
A U A = A
Operasi pada Himpunan
Beberapa operasi penting pada himpunan termasuk serikat pekerja, persimpangan, perbedaan, komplemen dari suatu himpunan, dan produk kartesius dari suatu himpunan. Penjelasan singkat tentang operasi pada himpunan adalah sebagai berikut.
Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan, yang dilambangkan sebagai AUB, mencantumkan elemen-elemen di himpunan A dan himpunan B atau elemen-elemen di kedua himpunan A dan B. Misalnya, {1, 3} {1, 4} = {1, 3, 4}
Irisan Himpunan
Irisan himpunan yang dilambangkan dengan A B mencantumkan elemen-elemen yang sekutu bagi himpunan A dan himpunan B. Misalnya, {1, 2} {2, 4} = {2}
Selisih Himpunan
Selisih himpunan yang dilambangkan dengan A - B, mencantumkan anggota himpunan A yang tidak ada pada himpunan B. Misalnya, A = {2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6}. A - B = {2, 3}.
Himpunan Pelengkap
Komplemen himpunan yang dilambangkan dengan A', adalah himpunan semua elemen dalam himpunan semesta yang tidak ada dalam himpunan A. Dengan kata lain, A' dilambangkan sebagai U - A, yang merupakan selisih dari elemen-elemen dari semesta atur dan atur A
Perkalian kartesius dari dua himpunan
Perkalian kartesius dari dua himpunan yang dilambangkan dengan A × B, adalah hasil kali dua himpunan tak kosong, di mana diperoleh pasangan-pasangan terurut dari elemen. Misalnya, {1, 3} × {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.
teori himpunan, cabang matematika yang berhubungan dengan sifat-sifat kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik, yang mungkin atau mungkin tidak bersifat matematis, seperti bilangan atau fungsi. Teori ini kurang berharga dalam aplikasi langsung ke pengalaman biasa daripada sebagai dasar untuk terminologi yang tepat dan dapat disesuaikan untuk definisi konsep matematika yang kompleks dan canggih.
Antara tahun 1874 dan 1897, ahli matematika dan logika Jerman Georg Cantor menciptakan teori himpunan entitas abstrak dan membuatnya menjadi disiplin matematika. Teori ini tumbuh dari penyelidikannya tentang beberapa masalah konkret mengenai jenis tertentu dari himpunan bilangan real tak terbatas. Satu set, tulis Cantor, adalah kumpulan objek persepsi atau pemikiran yang pasti dan dapat dibedakan yang dipahami secara keseluruhan. Objek-objek tersebut disebut elemen atau anggota himpunan.
Teori ini memiliki aspek revolusioner dalam memperlakukan himpunan tak hingga sebagai objek matematika yang berada pada pijakan yang sama dengan yang dapat dibangun dalam jumlah langkah yang terbatas. Sejak zaman kuno, sebagian besar ahli matematika telah dengan hati-hati menghindari pengenalan ke dalam argumen mereka tentang ketidakterbatasan aktual (yaitu, himpunan yang berisi tak terhingga objek yang dianggap ada secara bersamaan, setidaknya dalam pemikiran). Karena sikap ini bertahan sampai hampir akhir abad ke-19, karya Cantor menjadi subyek banyak kritik karena berhubungan dengan fiksi—bahkan, melanggar batas wilayah para filsuf dan melanggar prinsip-prinsip agama. Namun, begitu aplikasi untuk analisis mulai ditemukan, sikap mulai berubah, dan pada tahun 1890-an ide dan hasil Cantor mulai diterima. Pada tahun 1900, teori himpunan diakui sebagai cabang matematika yang berbeda.
Pada saat itu, bagaimanapun, beberapa kontradiksi dalam apa yang disebut teori himpunan naif ditemukan. Untuk menghilangkan masalah seperti itu, dasar aksiomatik dikembangkan untuk teori himpunan yang analog dengan yang dikembangkan untuk geometri dasar. Tingkat keberhasilan yang telah dicapai dalam perkembangan ini, serta perkembangan teori himpunan saat ini, telah diungkapkan dengan baik dalam Nicolas Bourbaki léments de mathématique (mulai 1939; "Elemen Matematika"): mungkin, berbicara secara logis, untuk mendapatkan secara praktis seluruh matematika yang diketahui dari satu sumber, The Theory of Sets.
Selanjutnya, Soal dan Pembahasan secara lengkap membahas HIMPUNAN:
Tag :
rumus himpunan
simbol himpunan
himpunan bagian
operasi himpunan
contoh himpunan kosong
himpunan kosong adalah
himpunan semesta
materi himpunan
0 Komentar